プロパーな伝達関数とは?意味とイメージを例で解説!

システムと伝達関数

このページでは、制御工学でよくでてくる「プロパーな伝達関数」の意味とイメージを解説します。

このページのまとめ
  • 「分子の次数≦分母の次数」を満たす伝達関数を「プロパーな伝達関数」と呼ぶ
  • プロパーな伝達関数は、現実世界で厳密な実現が可能である
  • プロパーでない伝達関数は、現実世界で厳密な実現が不可能である
  • 自分が設計した制御器がプロパーであるかどうかは注意が必要
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プロパーな伝達関数の定義

ある線形なシステムが、次の伝達関数で表されるとします。

$$G(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$

このとき「分子\(N(s)\)の次数≦分母\(D(s)\)の次数」であるなら、\(G(s)\)は「プロパーな伝達関数」と呼ばれます。(次数は「\(s\)が最大で何乗されているか」です)

さらに、プロパーな伝達関数の中でも「分子の次数<分母の次数」である伝達関数を特に区別して「厳密にプロパーな伝達関数」と呼ぶこともあります。

また、プロパーな伝達関数を持つシステムは、「プロパーなシステム」とも呼ばれます。

古典制御で取り扱うのは、基本的にプロパーな伝達関数のみです。

プロパーな伝達関数の例

シンプルな例として、微分方程式が次式で表されるシステムを考えましょう。

$$\ddot{y} + \dot{y} + y = \dot{u} + u$$

これをラプラス変換すると、次のようになりますね。

$$Y(s) = \frac{s+1}{s^2 + s + 1}U(s)$$

分母の次数は2、分子の次数は1なので、このシステムはプロパーな伝達関数を持つことがわかります。結局、

  • 分母の次数=微分方程式内で出力を微分する回数
  • 分子の次数=微分方程式内で入力を微分する回数

なので、微分方程式が「入力を微分する回数≦出力を微分する回数」を満たすシステムはプロパーであるともいえます。

ちなみに、\(y=Ku\)のような比例関係で表されるシステムもプロパーです。伝達関数は\(K\)(定数)で、分母・分子ともに次数が0だからですね。

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プロパーな伝達関数の直感的意味

では、「プロパーである」とは、結局どういう意味を持つのでしょうか?

一言で説明すると、プロパーな伝達関数は現実世界で厳密が実現が可能、プロパーでない伝達関数は現実世界で厳密な実現が不可能、という性質を持ちます。これについて、詳しく見ていきましょう。

まず、「プロパーでない伝達関数がなぜ厳密な実現が不可能か」を考えたほうがわかりやすいので、それから説明します。シンプルな例として、微分方程式が次式で表されるシステムを考えましょう。

$$\dot{y} + y = \ddot{u} + \dot{u} + u$$

これをラプラス変換すると、次のようになりますね。

$$Y(s) = \frac{s^2 + s+1}{s + 1}U(s)$$

分母の次数は1、分子の次数は2なので、このシステムはプロパーでない伝達関数を持ちます。これをさらに整理すると次のようになります。

$$\begin{align}Y(s) &= \frac{s^2 + s+1}{s + 1}U(s) \\\\ &= \frac{s(s+ 1)+1}{s + 1} U(s) \\\\ &= \biggl( \ubgd{ \vphantom{ \frac{1}{s+1} } s}{プロパー}{でない項} \ + \ \ubgd{\frac{1}{s+1}}{プロパー}{な項} \biggl) U(s)\end{align}$$

式を整理することで、プロパーでない伝達関数を「プロパーでない項」と「プロパーな項」に分けることができました。さらに展開すると、システムの出力\(Y(s)\)が、次式で得られます

$$Y(s) = \ubg{sU(s)}{入力の時間微分} + \frac{1}{s + 1}U(s)$$

この例のように、プロパーでない伝達関数は、プロパーでない項の作用で入力の時間微分(またはn階時間微分)を出力に含みます。この時間微分が現実世界での実現を妨げる元凶です。

入力を微分して出力するだけなら簡単じゃないの?

と思うかもしれませんが、厳密な時間微分は現実世界で実現不可能なんです。

微分の定義をおさらいしましょう。時刻\(t\)における関数\(f(t)\)の導関数は、次で表されます。

$$\dot{f}(t) = \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta t) – f(t)}{\Delta t}$$

極限が付いているとはいえ、\(f(t+\Delta t)\)という未来の時刻の情報が必要となるのがポイントです。当然未来の情報を得る方法はありませんので、「厳密な」時間微分は実現不可能だというわけです。

というわけで、プロパーでない伝達関数は現実世界で厳密な実現が不可能です。一方、プロパーな伝達関数は上記のような問題が生じないので厳密な実現が可能となります。

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プロパーかどうかを気にすべきタイミング

実現不可能では困るので、システムがプロパーであることは非常に重要です。ただし、システムがプロパーであるかどうかを気にすべきタイミングは、結構限られています。

まず、「制御対象がプロパーであるかどうか」を気にする必要はありません。現実世界のシステム(物理現象)は絶対にプロパーだからです。実現不可能なら存在しませんからね。

一方で、「制御器がプロパーであるかどうか」は気にすべきです。制御器は人間が勝手に設計したシステムなので、プロパーでなくなる場合があるからです。具体的には、制御器が信号の微分操作を行う場合、その制御器はプロパーでなくなり、厳密な実現が不可能となります。

ブロック線図でプロパーかどうかを気にすべき部分

例えばPD制御器は、誤差信号の微分操作を含むためプロパーでなく、厳密な実現は不可能です。

PD制御器はプロパーな制御器ではない

え、でもPD制御って現実に使われてるんじゃないの?

その通りです。実際のところは、プロパーでない制御器も「厳密でない微分」でむりやり実現できる場合が多いです。具体的には、電気信号を微分する微分回路や、微分をプログラムで近似的に計算する数値微分がよく用いられます。これらには必ず誤差が含まれるので「厳密な微分」ではないですが、実用上はそれで十分な場合がほとんどです。

このように、制御器を設計する際は、それがプロパーであるのか、プロパーでないなら「厳密でない手段」で代替可能であるのか、をよく吟味する必要があります。

以上、プロパーな伝達関数の意味とイメージについての説明でした。制御工学でよく出てくる概念ですので、しっかり理解しておきましょう!

このページのまとめ
  • 「分子の次数≦分母の次数」を満たす伝達関数を「プロパーな伝達関数」と呼ぶ
  • プロパーな伝達関数は、現実世界で厳密な実現が可能である
  • プロパーでない伝達関数は、現実世界で厳密な実現が不可能である
  • 自分が設計した制御器がプロパーであるかどうかは注意が必要

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