閉ループ伝達関数・開ループ伝達関数・一巡伝達関数の違いと使い方

システムと伝達関数

このページでは、閉ループ伝達関数・開ループ伝達関数・一巡伝達関数の意味と違い、そしてそれぞれの使い方について解説します。

このページのまとめ
フィードバック制御システムのブロック線図
  • 閉ループ伝達関数:目標値$r$から出力$y$までの伝達関数$\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}$
  • 開ループ伝達関数:誤差$e$から出力$y$までの伝達関数$C(s)G(s)$
  • 一巡伝達関数  :誤差$e$から観測量$\hat{y}$までの伝達関数$C(s)G(s)H(s)$

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フィードバック制御システムを分解すると、それぞれが出てくる!

ある制御対象に対し、次のようなフィードバック制御システムを構築したとします。

フィードバック制御システムのブロック線図

標準的なフィードバック制御システムですね。観測量$\hat{y}$は、検出器$H(s)$を介して実際に制御器にフィードバックされる信号です。検出器$H(s)$に馴染みがないかもしれませんが、これは例えば出力$y$を取得するセンサや、出力$y$を他の信号に加工する演算部のことを指します。

例えばセンサの信号取得特性が一次遅れ系で表される場合は、$H(s)=\frac{K}{Ts+1}$とすることでそれを考慮できます。また、出力$y$の微分をフィードバックしたい場合は、$H(s)=s$として微分演算を入れます。出力$y$をそのままフィードバックできる場合は、$H(s)=1$としてこのブロックを無視すればOKです。

当然ですが、フィードバック制御システムの中には様々な信号が存在します。フィードバック制御システムの特性を解析する際は、それぞれの信号の関係性(つまり伝達関数)が重要な情報となります。中でも特によく使用される伝達関数には、次の通り固有の名前がついています。

  • 閉ループ伝達関数:目標値$r$から出力$y$までの伝達関数
  • 開ループ伝達関数:誤差$e$から出力$y$までの伝達関数
  • 一巡伝達関数  :誤差$e$から観測量$\hat{y}$までの伝達関数

以下、それぞれの伝達関数の詳細と使い方について、解説していきます。

閉ループ伝達関数の意味と使い方

閉ループ伝達関数のブロック線図

目標値$r$から出力$y$までの伝達関数が、閉ループ伝達関数です。システムを丸々まとめたものですね。閉ループ伝達関数で表されるシステムは、閉ループシステム閉ループ系と呼ばれます。

閉ループ伝達関数を実際に計算すると、次式となります。

$$閉ループ伝達関数G_{閉}(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}$$

フィードバック制御の目的は出力$y$を目標値$r$にあわせることなので、閉ループ伝達関数は制御目的をそのまま表した伝達関数であるといえます。よって用途としては、フィードバック制御性能の分析に用いられます。当然、$G_{閉}(s)=1$となるのが理想ですね($y=r$となるので)。

利点としては、制御目的を直接反映しているので意味が直感的に分かりやすいことが挙げられます。一方の欠点としては、式が複雑になり取り扱いが面倒であることが挙げられます。

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開ループ伝達関数の意味と使い方

開ループ伝達関数のブロック線図

誤差$e$から出力$y$までの伝達関数が、開ループ伝達関数です。開ループ伝達関数で表されるシステムは、開ループシステム開ループ系と呼ばれます。

開ループ伝達関数を実際に計算すると、次式となります。

$$開ループ伝達関数G_{開}(s)=C(s)G(s)$$

開ループ伝達関数は、制御対象の特性$G(s)$は分かっているとして、それに制御器$C(s)$がくっついたときに特性がどうなるかを表した伝達関数であるといえます。

用途としては、例えば「入力信号(誤差信号)の変化に対して出力がどれだけ機敏に反応するか」といった制御器を含めたシステムの基本特性を見る際に用いられます

開ループ伝達関数の一番の利点は、式が単純で扱いやすいことです。閉ループ伝達関数と比べると一目瞭然ですね。ちなみに閉ループ伝達関数の中には、開ループ伝達関数がそのまま登場します。

$$閉ループ伝達関数G_{閉}(s)=\frac{\osg{\color{green}{C(s)G(s)}}{開ループ伝達関数だ!}}{1+C(s)G(s)H(s)}=\frac{G_{開}(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}$$

よって、システム全体(=閉ループシステム)の解析を行う際も、開ループ伝達関数やその解析結果を流用することが可能です。

もう1つの利点として、実際の特性を実験的に確かめやすいことが挙げられます。フィードバック制御システム(=閉ループシステム)は信号が複雑に相互作用するので意図せず不安定になる場合が多く、設計初期段階で実際に動かすのは危険です。一方で開ループシステムはシンプルなので意図せず不安定になることはほとんどなく、設計初期段階でも比較的安全に実験を行えます。これにより、システムの特性や伝達関数の精度を早期から実験的に確かめられます。

また、この考え方は設計中盤でも使われることがあります。例えばフィードバック制御がうまく行かなかった場合に、デバッグの第1歩としてまず開ループシステム単体が変な特性や挙動を示していないかを調べることがあります。

一方の欠点としては、やはり閉ループ伝達関数と比べると得られる情報量が少ないことが挙げられます。

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一巡伝達関数の意味と使い方

一巡伝達関数のブロック線図

誤差$e$から観測量$\hat{y}$までの伝達関数が、一巡伝達関数です。

一巡伝達関数を実際に計算すると、次式となります。

$$一巡伝達関数G_{一巡}(s)=C(s)G(s)H(s)$$

出力$y$がそのままフィードバックされるとき、すなわち$H(s)=1$であるときは、一巡伝達関数と開ループ伝達関数は等しくなります。

一巡伝達関数は、制御器に入力した信号がフィードバックループを一巡して戻ってきたらどうなっているかを表した伝達関数であるといえます。

用途としては、システム全体(=閉ループシステム)の安定判別に用いられます。例として、一巡伝達関数が$G_{一巡}(s)=-10$であるシステムを考えましょう。これは、制御器に入力した信号が$-10$倍されて戻ってくるシステムですね。これに目標値$r=0$、初期誤差$e=1$を与えた際の、その後の信号の流れを見てみましょう。

  • まず$e=1$を入力すると、$-10$倍されて$\hat{y}=-10$が戻ってくる
  • $e=r-\hat{y}=10$なので$10$を入力すると、また$-10$倍されて$\hat{y}=-100$が戻ってくる
  • $e=r-\hat{y}=100$なので$100$を入力すると、また$-10$倍されて$\hat{y}=-1000$が戻ってくる…

このように、システムの設計が悪いとフィードバックループを回るたびに信号が延々と増幅され、最後には発散してしまいます。つまり、システムが不安定となってしまうわけですね。

逆に言うと、フィードバックループを回るたびに信号が収束するようにシステムを設計できれば、システムを安定化させることができますね。すなわち一巡伝達関数を分析することで、複雑な閉ループ伝達関数を取り扱うことなくシステムの全体の安定判別が可能となるわけです。そのような安定判別法としては、ナイキストの安定判別法が代表的です。

ちなみに、一巡伝達関数も閉ループ伝達関数の中にそのまま登場します。

$$閉ループ伝達関数G_{閉}(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+\usg{\color{green}{C(s)G(s)H(s)}}{一巡伝達関数だ!}}=\frac{G_{開}(s)}{1+G_{一巡}(s)}$$

以上、フィードバック制御システムに含まれる様々な伝達関数の解説でした。

それぞれの用語はもちろん重要ですが、それ以上に「自分が今どの信号の関係性を見ているのか」をしっかりと理解しておくことが重要ですので、システムの分析時は常に意識しておいてくださいね(特に慣れないうちは自分が何を見ているのか混乱しがちです)。

このページのまとめ
フィードバック制御システムのブロック線図
  • 閉ループ伝達関数:目標値$r$から出力$y$までの伝達関数$\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}$
  • 開ループ伝達関数:誤差$e$から出力$y$までの伝達関数$C(s)G(s)$
  • 一巡伝達関数  :誤差$e$から観測量$\hat{y}$までの伝達関数$C(s)G(s)H(s)$

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