ラプラス変換とは?使い方・公式・利点を解説!変換表もあるよ

ラプラス変換

このページでは、ラプラス変換と逆ラプラス変換について、使い方・利点・各種公式を解説します。また、ラプラス変換表とその覚え方についても紹介します。

このページのまとめ
  • ラプラス変換は、変数変換の一種
  • 微分方程式の取り扱いや、周波数解析が手軽になるのが利点
  • ラプラス変換の変換式は複雑だが、実用上よく使う変換を公式として覚えればOK
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ラプラス変換の概要

ラプラス変換とは

ラプラス変換は、変数変換の一種です。主に、線形微分方程式を解析するためのツールとして用いられます。

物理の様々な分野において、現実世界の現象は微分方程式で表されますよね。例えば物理学で基本となる運動方程式は、微分方程式です。

例えば運動方程式は微分方程式

これを分析・制御するためには、この微分方程式を解くか、解かないにしても方程式からその性質を読み取る必要があります。

ただ、微分方程式って取り扱いが複雑で面倒ですよね…。そんな微分方程式を手計算で手軽に扱えるように先人が開発した数学的なテクニックが、ラプラス変換です。

用語と数式上の表現

微分方程式で基本となる変数は、時間$t$ですね。この時間$t$に基づいた世界は、$t$領域(または時間領域)と呼ばれます。

ラプラス変換ではこの$t$を$s$という変数に変換し、$s$に基づいて微分方程式を処理します。この$s$に基づいた世界は、$s$領域と呼ばれます。(複素領域や周波数領域とも呼ばれます)

t領域は、tがすべての基本。s領域は、sがすべての基本。

ここで、$t$に基づいて表された関数$f(t)$を、$s$に基づいた表現に変換することを考えましょう。この操作は、「$f(t)$をラプラス変換する」と呼ばれます。

基本となる変数を変換するので、当然数式上の表現(姿)もガラッと変わることになります。例えば$t$領域での$1$は、$s$領域では$\frac{1}{s}$で表されることが知られています。

より一般化して、$t$領域での関数$f(t)$を$s$領域で表したものを、$F(s)$と表すことにしましょう。この$F(s)$は、単に「$f(t)$のラプラス変換」と呼ばれます。

f(t)をラプラス変換したもの$F(s)$を、「f(t)のラプラス変換」と呼ぶ

$f(t)$をラプラス変換する操作は、数式上で次のように表されます。

$$\mathcal{L} \big[ f(t)\big] = F(s)\quad または\quad f(t)\xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }F(s)$$

※1つ目の記法が使われることが多いですが、初めて学ぶ際は2つ目の記法のほうが分かりやすいと思うので、本ページでは2つ目の記法を用いることにします。

逆に、$s$領域から$t$領域への変数変換は、逆ラプラス変換と呼ばれます。

sの関数F(s)をtの関数f(t)に変換する操作が、逆ラプラス変換

$F(s)$を逆ラプラス変換する操作は、数式上で次のように表されます。

$$\mathcal{L}^{-1} \big[ F(s)\big] = f(t)\quad または\quad F(s)\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}f(t)$$

ラプラス変換も逆ラプラス変換もただの変数変換なので、結局は視点を変えて同じものを見ているだけだということに注意してくださいね。

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ラプラス変換の利点と使用イメージ

ラプラス変換の方法を詳しく説明する前に、まずは利点使い方についてイメージを深めておきましょう。これを事前に知っておくと、ラプラス変換がより学びやすくなるはずです。

利点1:微分方程式を手計算で手軽に扱える

ラプラス変換の最大の利点は、冒頭で述べた通り微分方程式を手計算で手軽に扱えるようになることです。

具体的には、$t$領域で「時間$t$で微分する」という操作が、$s$領域では「$s$をかける」という操作に変わります。微分が掛け算になると嬉しいですよね!

例えば、次の微分方程式を考えましょう。

$$\begin{gather}\ddot{y}(t) + 2\dot{y}(t) + 3y(t) = 4\dot{x}(t) + 5x(t)\\[7pt] ただし\ y(0)=\dot{y}(0)=0\end{gather}$$

両辺に微分がたくさんついており、これを解くのは面倒くさそうですね…。

この方程式全体をラプラス変換して、$s$領域で表してみましょう。

$$s^2Y(s) + 2sY(s) + 3Y(s) = 4sX(s) + 5X(s)$$

$X(s),Y(s)$はそれぞれ$x(t),y(t)$のラプラス変換です。$s$領域では方程式に微分が全く無くなり、その代わりに微分の数だけ関数に$s$がかかっていることが見て取れます。

微分がなくなったので、これを$Y(s)$について解くのは超簡単ですね。

$$Y(s) = \frac{4s+5}{s^2 + 2s + 3}X(s)$$

あとはこの$Y(s)$を逆ラプラス変換して$y(t)$に戻せば、解が得られるというわけです。(具体的な方法は後ほど説明します)

このように、微分方程式を解く際に「とりあえず問題をラプラス変換し、計算が簡単な$s$領域で処理したあと、得られた答えを$t$領域に変換し直す」というのがラプラス変換の基本的な使い方です。

ラプラス変換の使い方イメージ図。微分方程式を解く際に、問題をラプラス変換し、計算が簡単なs領域で処理したあと、得られた答えをt領域に変換し直す

ここでは上図のイメージと、微分が掛け算になるイメージをしっかり抑えておいてくださいね!

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利点2:周波数解析との親和性が高い

ほーん。

で、結局$s$って何なの?$t$は時間を表していたけど、そんな感じの意味はあるの?

$t$ほど直感的にわかりやすい意味ではないのですが、$f(t)$を時々刻々変化する一種の信号であると解釈したとき、$s$はその信号周波数と非常に強い関係を持ったパラメータであることが知られています。

これは、ラプラス変換がフーリエ変換(時間$t$を周波数に変換する手法)と数学的に非常によく似た変換手法であるためです。

よってすごくザックリ言うと、ラプラス変換を用いて微分方程式を解くと、解だけでなくその周波数特性もついでに得ることが可能です。これは様々な工学分野において、非常に便利に使える性質です。

周波数特性「おまけだよん」 自分「いいの!?」

この性質は、特に制御工学の周波数解析にて活用されています。

ラプラス変換・逆ラプラス変換の定義

ここからはラプラス変換・逆ラプラス変換の具体的な方法について学んでいきましょう。

ラプラス変換と逆ラプラス変換

まず、$f(t)$のラプラス変換$F(s)$は、次式によって計算できます。(これがラプラス変換の定義です)

$$F(s) = \int ^\infty _0 f(t)e^{-st}dt$$

また、$F(s)$の逆ラプラス変換$f(t)$は、次式で計算できます。

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int ^{c+j\infty} _{c-j\infty} F(s)e^{st}ds,\quad ただし\ c>0$$

うわっ、面倒くさそう…

と思うかもしれません。この式は意外と手計算できてしまうのですが、面倒くさいのは事実です。

ただ、線形微分方程式を解く場合、登場する関数$f(t)$は結構限られてきます

よって、よく出てくる関数$f(t)$と対応する$F(s)$を公式化してまるまる覚えておけば、ラプラス変換も逆ラプラス変換も上記計算なしにできてしまうので、安心してください。

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よく出てくる関数のラプラス変換

ということで、面倒くさい計算をしなくて済むように、よく出てくる関数の変換公式を見ていきましょう。2つだけなので、しっかり抑えておいてくださいね!

時間の累乗

まず抑えておくべきなのは、次の変換公式です。

$$t^n\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{n!}{s^{n+1}}$$

これに$n=0,1,2$を代入することで、特によく出てくる次の関係が得られます。

$$1\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s}$$

$$ t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s^2}$$

$$ t^2\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{2}{s^3}$$

$t$領域での1や$t$は、$s$領域でこのように表現されるわけですね。

三角関数

sin関数、cos関数も非常によく出てきます。これらは、それぞれ次のように変換されます。

$$\sin\omega t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{\omega}{s^2+\omega ^2}$$

$$\cos\omega t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{s}{s^2+\omega ^2}$$

どの公式も、矢印の向きを反転させれば逆ラプラス変換の公式として使えることも、抑えておきましょう。

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ラプラス変換・逆ラプラス変換の基本性質

ラプラス変換でよく使われる関数は上の2パターンだけなのですが、実用上はこれらの関数が足し合わされたり微分されたりと、少し複雑な形で登場します。

それらに対応できるように、ラプラス変換そのものの便利な性質についても抑えておきましょう。

線形性

線形性とは

関数$f(t),g(t)$のラプラス変換を、それぞれ$F(s),G(s)$とします。これらの関数の足し算について、次が成り立ちます。

$$f(t)+g(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ F(s)+G(s)$$

また、関数に定数$a$がかけられている場合は、次の関係が成り立ちます。

$$af(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ aF(s)$$

これらを組み合わせると、次の関係が得られます。

$$af(t)+bg(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ aF(s)+bG(s)$$

$a,b$は定数です。結局「足し算の関係と、定数の掛け算の関係は、変換前後で変わらない」というわけですね。このような性質は、線形性と呼ばれます。

また、逆ラプラス変換も線形性を持つことが知られています。つまり、上記矢印を反転させてもその関係は成り立ちます。

この性質と先ほどの変換公式を用いて、$2+3t+5x(t)$をラプラス変換してみましょう。

$$1\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s},\quad t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s^2}\quadだったので、$$

$$2+3t+5x(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{2}{s} + \frac{3}{s^2}+5X(s)$$

$X(s)$は$x(t)$のラプラス変換です。このように、もし具体的に定義されていない関数がある場合は、そのラプラス変換を自分で定義すればOKです。簡単ですね!

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掛け算は対象外なので注意

なお、関数同士の掛け算はこのように単純にはいかないので、注意してください。

$$f(t)\cdot g(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ F(s)\cdot G(s) \quad \color{red}{ではない!}$$

実用上はこのような掛け算も多く登場するのですが、その場合は部分分数分解などを用いて式を足し算に変形して対処することがほとんどです。

時間微分

時間微分のラプラス変換

関数$f(t)$の時間微分$\dot{f}(t)$のラプラス変換は、次のようになります。

$$\dot{f}(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ sF(s) – f(0)$$

$f(0)$は、関数$f(t)$の時刻$t=0$での初期値です。$s$領域では時間微分操作が全く無くなり、$s$と$F(s)$の掛け算が現れていますね。この性質が、ラプラス変換の最大の利点に結びついているといえるでしょう。

特に$f(0)=0$のときは、次のように微分操作が$s$をかけるだけとなるため、非常にシンプルに扱えるようになります。

$$\dot{f}(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ sF(s) $$

なお、上記微分公式自体をさらに微分することで、2階微分以上の変換式も得られます。

$$\begin{array}{lll}\ddot{f}(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }& s\Big\{sF(s) – f(0)\Big\}-\dot{f}(0)&=s^2F(s)-sf(0)-\dot{f}(0) \\ \dddot{f}(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }& s\Big\{s^2F(s)-sf(0)-\dot{f}(0)\Big\}-\ddot{f}(0)&=s^3F(s)-s^2f(0)-s\dot{f}(0)-\ddot{f}(0)\end{array}$$

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例として、$\ddot{x}(t) + 2\dot{x}(t) + 3x(t) + 1 $のラプラス変換を考えてみましょう。

$$\begin{align}\ddot{x}(t) + 2\dot{x}(t) + 3x(t) + 1 \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ &\Big\{s^2X(s)-sx(0)-\dot{x}(0)\Big\} + 2 \Big\{sX(s) – x(0)\Big\} + 3X(s) + \frac{1}{s} \\ &= \big( s^2 + 2s + 3\big)X(s) – \big( s+2\big)x(0) – \dot{x}(0) + \frac{1}{s}\end{align}$$

$x(0)$と$\dot{x}(0)$には、与えられた初期値を代入すればOKです。

もし$x(0)=\dot{x}(0)=0$である場合は、次のように微分の数だけ$s$をかければOKという単純な関係になります。

$$\begin{align}\ddot{x}(t) + 2\dot{x}(t) + 3x(t) + 1 \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ &s^2 X(s) + 2sX(s) + 3X(s) + \frac{1}{s}\\ &= \big( s^2 + 2s + 3\big) X(s) + \frac{1}{s}\end{align}$$

時間積分

続いては、微分の逆である積分に関する性質を見てみましょう。

$$\int_0 ^t f(\tau)d\tau \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s}F(s)$$

$s$領域で「$s$で割る」という操作は、「その関数を時刻0から時刻$t$まで積分する」という操作に対応するとうわけですね。

$s$領域での微分は「$s$をかける」操作に対応していたので、「$s$で割る」操作が積分に対応するのは直感的にも辻褄が合っています。

この関係性はラプラス変換・逆変換で直接使うよりも、$s$領域で表された数式の意味を解釈するために使われることが多いでしょう。

$$F(s)=\ubg{sX(s)\vphantom{\frac{1}{s}}}{x(t)の微分}+\ubg{\frac{1}{s}Y(s)}{y(t)の積分}$$

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移動定理

移動定理とは

最後に、何かと便利に使える性質として、移動定理をご紹介しましょう。

$$e^{at}f(t) \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ F(s-a)$$

$a$は定数です。「$t$領域で関数$f(t)$に$e^{at}$をかけると、$s$領域では関数$F(s)$が$a$の分だけずれる」というものです。

ラプラス変換で解く線形微分方程式は、解が$e^{at}$の形を含むことが多いので、微分方程式との親和性が特に高い性質であるといえるでしょう。

この性質と先ほどの「よく出る関数の変換公式」を組み合わせることで、ラプラス変換の適用範囲がグッと広がります。例を見てみましょう。

まずは$e^{at}$をラプラス変換してみます。

$$1\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s}\quadだったので、\quad e^{at}=e^{at}\cdot 1\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{1}{s-a}$$

元の変換式を、$a$だけずらしているわけですね。より一般化すると、次の関係が得られます。

$$t^n\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{n!}{s^{n+1}}\quad だったので、\quad t^n e^{at} \ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$$

続いては、三角関数と組み合わさった例です。

$$\begin{gather}\sin\omega t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{\omega}{s^2+\omega ^2}\quad だったので、\quad e^{at}\sin\omega t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega ^2}\\[7pt] \cos\omega t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{s}{s^2+\omega ^2}\quad だったので、\quad e^{at}\cos\omega t\ \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\ \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega ^2}\end{gather}$$

この関係は、逆ラプラス変換するときによく使われます。

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ラプラス変換表

以上より、よく使われるラプラス変換の一覧は、次のようにまとめられます。

基本性質表

$t$領域$s$領域メモ
$af(t)+bg(t)$$aF(s)+bG(s)$線形性
$\dot{f}(t)$$sF(s)-f(0)$微分
$\int_0 ^t f(\tau)d\tau$$\frac{1}{s}F(s)$積分
$e^{at}f(t)$$F(s-a)$移動定理

基本変換表

$t$領域$s$領域覚え方
$t^n$$\frac{n!}{s^{n+1}}$これがベース
$1$$\frac{1}{s}$①の$n=0$
$t$$\frac{1}{s^2}$①の$n=1$
$t^2$$\frac{2}{s^3}$①の$n=2$
$e^{at}$$\frac{1}{s-a}$②+移動定理
$t^n e^{at}$$\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$①+移動定理
$t$領域$s$領域覚え方
$\sin\omega t$$\frac{\omega}{s^2+\omega ^2}$これがベース
$\cos\omega t$$ \frac{s}{s^2+\omega ^2}$これもベース
$e^{at}\sin\omega t$$\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega ^2}$①+移動定理
$e^{at}\cos\omega t$$\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega ^2}$②+移動定理

ベースの法則を覚えておけば、ほとんどの変換は自力で導出できますね

とはいえ、どのみち使っていれば自然と身につくので、暗記しようとするよりは問題を解きまくることをオススメします。

以上、ラプラス変換と逆ラプラス変換の使い方・利点・各種公式についての解説でした。

このページのまとめ
  • ラプラス変換は、変数変換の一種
  • 微分方程式の取り扱いや、周波数解析が手軽になるのが利点
  • ラプラス変換の変換式は複雑だが、実用上よく使う変換を公式として覚えればOK

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