動的システム・静的システムとは?違いとイメージを具体例で解説!

制御工学入門

制御で扱うシステムは大きく動的システム(ダイナミカルシステム)静的システム(スタティックシステム)に分けられます。このページでは、それぞれの違いと直感的イメージを解説します。

このページのまとめ
  • 静的システム:結果を一瞬で返すもの。代数方程式で表される。
  • 動的システム:一定の結果を返すのに時間がかかるか、一定の結果に至らないもの。微分方程式で表される。
  • 一定の結果を返すまでが「実質的に一瞬」と見なせるなら、動的システムでも「実質的に静的システム」とみなせる。
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直感的イメージ。カギは「結果」が一瞬で得られるかどうか!

今、あるシステムにステップ入力を与えたとします。例えば、ある瞬間に「はい動け!」とスイッチを入れた場合がこれに当たります。

このとき、「はいよ!」と一瞬で結果を返すのが静的システム結果に至るまでに時間がかかるか、一定の結果に至らないものが動的システムです。

動的システムと静的システムのイメージ

静的システムの例

抵抗

次のような超単純な電気システムは静的システムです。

静的システムの例としての抵抗

ある瞬間にスイッチを押して電圧\(V\)を入力する(ステップ入力を与える)と、出力である電流\(I\)は瞬時に決定されます。そこに過程は存在しません。このシステムを表す式は、オームの法則ですね。

抵抗(オームの法則)のブロック線図

この式に従い、電圧\(V\)に対して電流\(I\)が問答無用で決定されるわけです。

ばね

ばねも静的システムと解釈することができます。

静的システムの例としてのばね

入力であるばねの伸び\(x\)に対し、出力である力\(f\)は瞬時に決定されます。このシステムを表す式は、フックの法則ですね。

ばね(フックの法則)のブロック線図

以上のように、静的システムは代数方程式(普通の方程式)によって表され、それを解くことで結果が「値」として瞬時に求まります

動的システムの例

台車

次のように、力により台車の速度を発生させるシステムは動的システムです。

動的システムの例としての台車

ある瞬間から力\(f\)を台車に入力し続ける(ステップ入力を与える)と、出力である速度\(v\)は徐々に増加し、やがて一定値に至ります。当然、結果に至るまでに「加速」という過程が生じますよね。これが動的システムの特徴です。

台車のブロック線図

これは、入力に対して出力が「遅れる」とも表現されます。

システムの挙動は、上図の通り運動方程式で表されます。この運動方程式を解くことで、時々刻々変化する速度が時間の関数\(v(t)\)として求まります。

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ばねマスシステム

次に、ばねに質点がついたよくある感じのシステムを考えます。

動的システムの例としてのばねマスシステム

質点を持ち上げ、ある瞬間にパッ!と手を離したとします。この場合、手を離した瞬間から質点には重力\(G\)が与えられ続けます(つまりステップ入力)。摩擦や空気抵抗がない場合、質点はビヨビヨ振動し続け、いつまで経ってもその位置は1つに定まりません。

ばねマスシステムのブロック線図

このように、動的システムは必ずしも一定の出力を返すわけではありません。このシステムの挙動も、上図の通り運動方程式で表されますね。

以上のように、動的システムは微分方程式によって表され、それを解くことで時々刻々変化する挙動が「時間の関数」として求まります

実質的に静的システムとみなせる場合

ここまで、静的システムは「結果を一瞬で返すシステム」と説明してきました。

この「一瞬」というのは、「メインの制御対象の動作に比べて無視できるほど速い」という意味です。よって、メインの制御対象に比べて超速く結果を返せるシステムは、それが動的システムでも実質静的システムと解釈してよい場合があります。

例で見てみましょう。下に示すのは、先程の台車が含まれたシステムです。台車がヒモを引っ張ると、引っ張る速さに応じてロボットがのそ~っと歩く、という謎のシステムであるとします。

遅く歩くロボット

このシステムのブロック線図と各変数の応答を、次に示します。

遅く歩くロボットのブロック線図

台車の反応はロボットの反応に対して超速いですね。この場合は台車の挙動を運動方程式で厳密に考えずに、「台車は力\(f\)に応じた速さ\(v\)で一瞬で走りだす」と考えてもほとんど問題ありません。その場合、台車の挙動は次のように代数方程式で単純化できます

台車を静的システムで単純化した場合のロボットのブロック線図

当然、微分方程式よりも代数方程式のほうが扱いが楽なので、このほうがシステムや制御の設計が簡単になります。このように「無視できる情報は積極的に無視してシステムを単純化する」という手法はシステム設計にて非常に多く用いられますので、覚えておいてくださいね。(とはいえ、やりすぎると誤差が増大してしまいます。どこまで無視するかは設計者の腕の見せ所となります。)

以上、動的システムと静的システムの違いと直感的イメージの解説でした。

このページのまとめ
  • 静的システム:結果を一瞬で返すもの。代数方程式で表される。
  • 動的システム:一定の結果を返すのに時間がかかるか、一定の結果に至らないもの。微分方程式で表される。
  • 一定の結果を返すまでが「実質的に一瞬」と見なせるなら、動的システムでも「実質的に静的システム」とみなせる。

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