このページでは、制御を考える上で非常に重要な、システムの安定性について解説します。特に、数式上の定義ではなく「安定であるとは結局なんなのか」というイメージについて詳しく説明します。
- 安定なシステムは、何も入力せずに放っておいたら、だいたい止まる
- 不安定なシステムは、何も入力せずに放っておいたら、だいたい暴走する
- 安定性には色々な種類があるが、本質的にはだいたい同じと考えてOK
安定性の直感的意味
安定なシステム
安定なシステムとは「何も入力せずに放っておいたら、出力や状態が0に収束するシステム」のことです。
現実のシステムでは、ほとんどの場合「出力or状態が0」は「停止状態」に対応します。よって少し乱暴ですが、直感的には「何もせずに放っておいたら止まるシステム」とイメージしても大丈夫です。
※各信号は最初から0ではないとします。例えば「止まっているシステムを放っておいたら止まったままだ！」というケースは考えません。以降、「システムが動作をしている途中で放っておく」イメージで読み進めてください。
不安定なシステム
不安定なシステムとは「何も入力せずに放っておいたら、出力や状態が0に収束しないシステム」のことです。
持続振動も含みますが、発散する場合がほとんどなので、直感的には「何もせずに放っておいたら、暴走するシステム」と考えると分かりやすいでしょう。
安定なシステムの例
振り子
振り子は放っておいたら摩擦で止まるので、安定なシステムです。
振り子に限らず、ほとんどの機械システムは単体では安定です。だいたい放っておけば止まりますからね。（不安定な例は後で紹介します）
電気回路
RLC回路のような単純な回路も、スイッチを切れば（＝入力を与えなければ）止まるので、安定ですね。
機械システムと同じく、電気システムも単体ではほとんどが安定です。スイッチを切ると止まりますからね。
不安定なシステムの例
ドローン
ドローンは何もせずに放っておくと落ちるので、不安定なシステムです。
地面がないと数式上は無限に落ち続けるので、状態が収束しません。
マイクのハウリング
スピーカーの音をマイクが拾うと、音が無限に増幅されてハウリングしますよね。
何も声を出さなくても（＝入力を与えなくても）ハウリングは収まりませんので、不安定なシステムです。
安定性を考えるときの注意点
安定性は「見ているシステムの範囲」によって変わってくるので注意が必要です。
例えば先ほどのドローンは、単体では不安定なシステムでしたが、適切に制御器を設計できれば制御システム全体を安定化できます。
また、マイクのハウリングはシステム全体は不安定でしたが、マイク単体は安定なシステムです。
振り子も単体では安定でしたが、アホ制御器に繋げば簡単に不安定になります。
以上の通り、安定性を考える時は「今自分がどの範囲を見ているのか」を常に意識してくださいね。
安定性にも色々な種類がある
実は、制御工学における安定性には色々な種類があります。
基本的なイメージとしては、上記の通り「暴走しなければ安定」と考えて問題ありません。ただし、どこまでを「暴走」とみなすかによって細かい定義が変わってきます。順番に見ていきましょう。
インパルス応答に基づく安定性
「インパルス入力を与えて放っておいたら、出力や状態が0に収束するかどうか」を指標とした安定性です。
インパルス応答は「最初に一瞬ガンッ！と大きな入力を与えて平衡状態を乱し、あとは何もせず放っておいたらどうなるか」を表したものなので、これまで考えてきたものと同じイメージの安定性ですね。
※インパルス応答の詳細については、こちらのページをご覧ください
ステップ応答に基づく安定性
「ステップ入力を与えて放っておいたら、出力や状態が一定値に収束するかどうか」を指標とした安定性です。
インパルス応答と異なり常に入力があるので、0に収束するとは限りません。
※ステップ応答の詳細については、こちらのページをご覧ください
有界入出力安定性
「有界な入力に対して、出力も有界であるかどうか」を指標とした安定性を、有界入出力安定性と呼びます（Bounded-Input-Bounded-Output安定性、略してBIBO安定性とも呼ばれます）。
簡単に言うと、「無限じゃない入力に対して、出力も無限に吹っ飛ばないならOK」という安定性ですね。
以上、３つの安定性を紹介してきましたが、プロパーなシステムに対しては、これら3つの安定性が等価であることが知られています。なので「安定性は色々あるけど、ほとんどの場合は実質同じ」と考えてOKです。
※「プロパーなシステム」を超ざっくり説明すると、「制御工学の教科書にでてくるような基本的なシステム」のことです。詳細はこちらのページで解説しています。
以上、システムの安定性の意味と直感的イメージについての解説でした。
こちらのページではシステムの安定性を判別する方法を解説していますので、合わせてご覧ください！
- 安定なシステムは、何も入力せずに放っておいたら、だいたい止まる
- 不安定なシステムは、何も入力せずに放っておいたら、だいたい暴走する
- 安定性には色々な種類があるが、本質的にはだいたい同じと考えてOK
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