ナイキストの安定判別や安定余裕にて点(-1,0)が重要な理由

FBシステムの内部安定性

ナイキストの安定判別法や安定余裕解析では、開ループ伝達関数のベクトル軌跡上の点(-1,0)が安定/不安定の境目として重要な役割を持っていました。

なんか知らんけど重要なポジションのコイツ

このページでは、なぜ点(-1,0)が安定/不安定の境目となるのかについて、直感的イメージに基づいて解説します。

このページのまとめ
  • 点(-1,0)では、信号がフィードバックループを永遠に回り続けるので、安定限界になる
  • 点(-1,0)より少し右にズレた点では、信号がループを回るたびに減衰されるので、安定になる
  • 点(-1,0)より少し左にズレた点では、信号がループを回るたびに増幅されるので、不安定になる
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点(-1,0)の意味

まずは、そもそも点(-1,0)が何を表しているのかを復習しましょう。

軌跡上の点(-1,0)

ベクトル軌跡における点(-1,0)は、ゲイン1倍・位相-180°を表します。

より具体的には、「その点の角周波数(上図でいう$\omega = \omega_{-180^\circ}$)の信号を入力すると、出力の大きさは1倍で変わらず、位相は180°遅れる」というシステムの性質を表しているわけですね。

ちなみに、この「位相が-180°となる周波数$\omega_{-180^\circ}$」は、位相交差周波数と呼ばれます。位相交差周波数は、ちょうどベクトル軌跡が実軸(横軸)と交わる点での周波数を表しているわけですね。

様々なベクトル軌跡における位相交差周波数

また、ナイキストの安定判別法や安定余裕解析で用いるのは、開ループ伝達関数のベクトル軌跡でしたので、上記は開ループシステムの性質を表していることも思い出しておきましょう。

開ループ伝達関数なので、誤差eに対する出力yの性質を見ることになる

以上を踏まえて、ここからは点(-1,0)前後での信号の変化を実際に確かめていきましょう。

具体的には、開ループ伝達関数のベクトル軌跡がそれぞれ下図のように表されるシステムに対して、位相交差周波数$\omega_{-180^\circ}$の信号を入力し、出力信号が具体的にどうなるのかを確認していきます。

点(-1,0)を通るベクトル軌跡と、それが安定/不安定よりに少しズレたベクトル軌跡。これらが実軸と交わる点にて、出力がどう変わる?
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点(-1,0)での信号の様子

最初の例として、開ループ伝達関数$C(s)P(s)$のベクトル軌跡が点(-1,0)を通る、次のシステムを考えます。

外乱を含むフィードバック制御システムのブロック線図
例題システムの開ループ伝達関数のベクトル軌跡。点(-1,0)を通る

開ループシステムでの信号の様子を確認

点(-1,0)での信号の様子を直接確認するために、開ループシステムに位相交差周波数$\omega_{-180^\circ}$のsin波を入力してみましょう。

開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回ってどう変化する?

なお、問題をシンプルにするため、上図のように目標値$r$と外乱$d$は0とし、純粋に信号がフィードバックループをグルッと回った際の信号を確認することにします。(以降の例でも同じです)

得られた結果がこちらです。

開ループシステムに入った信号が、ループをグルッと回った結果のグラフ

定常状態での入出力の関係に注目しましょう。

まず、出力の振幅は入力と等しいため、ゲインが1倍であることが分かります。また、出力の位相は入力に対して半周期分遅れているので、位相が-180°であることも分かりますね。これは、点(-1,0)が表す性質に確かに一致しています。

さらに少しだけループを進め、信号が最初のスタート地点に帰ってきたときにどうなっているのかも見てみましょう。

開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回って元の場所に帰ってきたときどう変化している?
開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回って元の場所に帰ってきた結果のグラフ

目標値$r=0$なので、先ほどの出力信号に-1がかかり、上下反転した形が得られています。見ての通り、定常状態では入出力が一致していますね。この意味で、点(-1,0)は特別と言えるわけです。

グルッと回って信号が全く変わらないということは、信号はそのループを永遠に回り続けるということになりますよね。

sin信号がフィードバックループを永遠に回り続ける

信号は発散こそしませんが、永遠に振動が収まらない安定限界にあることになるので、ここが安定/不安定の境目になっていると言えます。

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閉ループシステムでの信号の様子を確認

安定限界にある状態をより直感的に把握するために、同じシステムの閉ループ特性も見てみましょう。

先ほどのシステムに対し、ステップ状の目標値を与えた際の出力の様子を確認してみます。

開ループ伝達関数のベクトル軌跡が点(-1,0)を通るシステムに対し、ステップ状の目標値を与えると、出力はどうなる?
開ループ伝達関数のベクトル軌跡が点(-1,0)を通るシステムに対し、ステップ状の目標値を与えた結果のグラフ

システムが安定限界にあるため、確かに閉ループシステムの出力も振動し続けていることが分かりますね。

少し安定よりにズレたときの信号の様子

ベクトル軌跡が点(-1,0)を通ると安定限界になることは分かったので、今度は軌跡が下図のように少し安定より(右側)にズレたシステムにて、信号の様子を確認してみましょう。

例題システムの開ループ伝達関数のベクトル軌跡。点(-1,0)を左に見る

開ループシステムでの信号の様子を確認

まずは先ほど同様に、開ループシステムに位相交差周波数$\omega_{-180^\circ}$のsin波を入力し、信号がフィードバックループをグルッと回った際の様子を確認してみます。

開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回って元の場所に帰ってきたときどう変化している?

ベクトル軌跡より、位相交差周波数$\omega_{-180^\circ}$での開ループシステムの特性は、ゲインが0.8倍・位相が-180°であることが分かります。先ほどの例よりゲインが小さくなっていますね。

実際に得られた信号波形がこちらです。

開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回って元の場所に帰ってきた結果のグラフ

ベクトル軌跡から読み取った性質の通り、定常状態では入力信号がゲインの数(0.8倍)だけ減衰して出力されていますね。

ということは、ループを回れば回るほど信号はどんどん減衰し、最終的には無くなることになります。

sin信号がフィードバックループを回れば回るほど減衰する

ほっといても信号が収束するため、システムは安定であることが分かりますね。

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閉ループシステムでの信号の様子を確認

より直感的に理解するために、同じシステムの閉ループ特性も見てみましょう。

先ほどのシステムに対し、ステップ状の目標値を与えた際の出力の様子を確認してみます。

開ループ伝達関数のベクトル軌跡が点(-1,0)を左に見るシステムに対し、ステップ状の目標値を与えると、出力はどうなる?
開ループ伝達関数のベクトル軌跡が点(-1,0)を左に見るシステムに対し、ステップ状の目標値を与えた結果のグラフ

システムが安定であるため、閉ループシステムの出力もある値に収束していることが分かりますね。

目標値に収束できていないため制御性能に改善の余地はありますが、今はシステムの安定性を議論しているため、特に深掘りせず次に行きたいと思います。

少し不安定よりにズレたときの信号の様子

最後に、開ループ伝達関数のベクトル軌跡が下図のように少し不安定より(左側)にズレたシステムについても、同様に確認してみます。

例題システムの開ループ伝達関数のベクトル軌跡。点(-1,0)を右に見る

開ループシステムでの信号の様子を確認

まずは開ループシステムに位相交差周波数$\omega_{-180^\circ}$のsin波を入力し、信号がフィードバックループをグルッと回った際の様子を確認しましょう。

開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回って元の場所に帰ってきたときどう変化している?

ベクトル軌跡より、位相交差周波数$\omega_{-180^\circ}$での開ループシステムの特性は、ゲインが1.2倍・位相が-180°であることが分かります。

実際に得られた信号波形がこちらです。

開ループシステムに入った信号が、フィードバックループをグルッと回って元の場所に帰ってきた結果のグラフ

ベクトル軌跡から読み取った性質の通り、定常状態では入力信号がゲインの数(1.2倍)だけ増幅されて出力されていますね。

ということは、ループを回れば回るほど信号はどんどん増幅され、最終的には発散することになります。

sin信号がフィードバックループを回れば回るほど増幅される

ほっといたら信号が発散するので、システムは不安定であると言えます。

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閉ループシステムでの信号の様子を確認

より直感的に理解するために、同じシステムの閉ループ特性も見てみましょう。

先ほどのシステムに対し、ステップ状の目標値を与えた際の出力の様子がこちらです。

開ループ伝達関数のベクトル軌跡が点(-1,0)を右に見るシステムに対し、ステップ状の目標値を与えると、出力はどうなる?
開ループ伝達関数のベクトル軌跡が点(-1,0)を右に見るシステムに対し、ステップ状の目標値を与えた結果のグラフ

システムが不安定であるため、閉ループシステムの出力が発散してしまっていることが分かりますね。

以上、ナイキストの安定判別法や安定余裕解析において、点(-1,0)が安定/不安定の境目となる理由についての解説でした。

点(-1,0)を境に信号がフィードバックループをグルグル回る際の挙動が変わり、結果的にシステムの安定性が決定づけられているわけですね!

このページのまとめ
  • 点(-1,0)では、信号がフィードバックループを永遠に回り続けるので、安定限界になる
  • 点(-1,0)より少し右にズレた点では、信号がループを回るたびに減衰されるので、安定になる
  • 点(-1,0)より少し左にズレた点では、信号がループを回るたびに増幅されるので、不安定になる

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